Transformasi Geometri 12

Transformasi Geometri 12

Matematikastudycenter.com- Contoh soal Pembahasan Ulangan Harian Transformasi Geometri, materi matematika SMA Kelas 12.

Translasi, rotasi, pencerminan atau refleksi, dan komposisi transformasi yang melibatkan matriks.

Soal No. 1
a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Tentukan bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Pembahasan
Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:

a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)



Soal No. 2
Disediakan suatu persamaan garis lurus
Y = 3x + 5
Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1)

Pembahasan
Ada beberapa cara diantaranya:
Cara pertama:
Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah:
x’ = x + 2 → x = x’ – 2
y’ = y + 1 → y = y’ – 1

Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal
y = 3x + 5
(y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5

Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi:
y – 1 = 3x – 6 + 5
y = 3x – 6 + 5 + 1
y = 3x

Cara kedua:
Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5
Misal:
Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5)
Titik B, untuk Y = 0 → x = – ⁵ /₃ dapat titik B (– ⁵/₃ , 0)

Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1)
A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6)
B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1)

Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu:



Cara ketiga
Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:

ax + by = c Translasi T (p, q) Hasil : ax + by = c + ap + bq

Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah.
y = 3x + 5
atau
3x − y = − 5
oleh T = (2,1)

Hasil translasinya adalah:
3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1)
3x − y = − 5 + 6 − 1
3x − y = 0
atau
y = 3x

Soal No. 3
Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:
a) Terhadap garis x = 10
b) Terhadap garis y = 8

Pembahasan
Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k
a) Terhadap garis x = 10
           x = h
(a, b) ----------> (2h − a,  b)

           x = h
(3, 5) ----------> ( 2(10) − 3,  5) = (17,  5)

b) Terhadap garis y = 8
           y = k
(a, b) ----------> (a, 2k − b)

            y = k
(3, 5) ----------> ( 3,  2(8) − 5) = (3,  11)

Soal No. 4
Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:
a) Terhadap garis y = x
b) Terhadap garis y = − x

Pembahasan
a) Terhadap garis y = x
           y = x
(a, b) ----------> ( b, a)

           y = x
(3, 5) ----------> (5, 3)

b) Terhadap garis y = − x
           y = − x
(a, b) ----------> ( − b, − a)

            y = − x
(3, 5) ----------> (− 5, − 3)

Soal No. 5
Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'.

Pembahasan
Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α



Sehingga:



Catatan:
sudut α positif → berlawanan arah jarum jam
sudut α negatif → searah jarum jam

Soal No. 6

Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks

kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah....
A. x + y − 3 = 0
B. x − y − 3 = 0
C. x + y + 3 = 0
D. 3x + y + 1 = 0
E. x + 3y + 1 = 0
(UN Matematika Tahun 2010 P04)

Pembahasan

Transformasi oleh matriks

dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya

Gabungan dua transformasi:


Terlihat bahwa
y' = − y
y = − y'

x' = x + 2y
x' = x + 2(− y')
x' = x − 2y'
x = x' + 2y'

Jadi:
x = x' + 2y'
y = − y'

Masukkan ke persamaan awal
y = x + 1
(− y') = (x' + 2y' ) + 1
x' + 3y' + 1 = 0

Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0

Soal No. 7
Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks

  

dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah....
A. (−11, 6)
B. (−6, 11)
C. (−5, 11)
D. (11, −5)
E. (11, −6)

Pembahasan
Titik A, dengan transformasi matriks



akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya:



Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A'', dimana titik A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X.



Jadi A" koordinatnya adalah (11, −6)

Soal No. 8
Lingkaran (x − 2)² + (y + 3)² = 25 ditransformasikan oleh matriks



dilanjutkan oleh matriks



maka bayangan lingkaran itu adalah....
A. x² + y² + 6x − 4x − 12 = 0
B. x² + y² − 6x − 4x − 12 = 0
C. x² + y² − 4x − 6x − 12 = 0
D. x² + y² + 4x − 6x − 12 = 0
E. x² + y² + 4x + 6x − 12 = 0

Pembahasan
(x − 2)² + (y + 3)² = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3) dan berjari-jari r = √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran.

Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya.

Titik P (2, − 3) oleh transformasi



akan menjadi P':



Titik P' ini oleh transformasi kedua



akan menjadi P" dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini:



Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga persamaan lingkarannya menjadi:

 

SUMBER

LAJU REAKSI

Kinetika Kimia, Definisi Laju Reaksi dan Hukum Laju

Kata Kunci: hukum laju, kinetika kimia, laju bersih, laju reaksi

Ditulis oleh Ratna dkk pada 18-12-2009

KINETIKA KIMIA

Mengapa beberapa reaksi kimia berlangsung secepat kilat sementara yang lainnya memerlukan waktu berhari-hari, berbulan-bulan bahkan tahunan untuk menghasilkan produk yang cukup banyak? Bagaimana katalis bisa meningkatkan laju reaksi kimia? Mengapa perubahan suhu yang sedikit saja sering memberikan efek besar pada laju memasak? Bagaimana kajian mengenai laju reaksi kimia memberikan informasi tentang bagaimana cara molekul bergabung membentuk produk? Semua pertanyaan ini menyangkut kinetika kimia belum selengkap seperti termodinamika. Masih banyak reaksi yang tetapan kesetimbangannya telah diketahui dengan cermat, tetapi perincian lintasan reaksinya masih belum dipahami. Ini terutama berlaku untuk reaksi yang melibatkan banyak unsur reaktan yang membentuk produknya.

Kinetika kimia adalah bagian dari ilmu kimia yang mempelajari laju dan mekanisme reaksi kimia. Besi lebih cepat berkarat dalam udara lembab daripada dalam udara kering; makanan lebih cepat membusuk bila tidak didinginkan; kulit bule lebih cepat menjadi gelap dalam musim panas daripada dalam musim dingin. Ini merupakan tiga contoh yang lazim dari perubahan kimia yang kompleks dengan laju yang beraneka menurut kondisi reaksi.

Definisi Laju Reaksi

Laju reaksi rerata analog dengan kecepatan rerata mobil. Jika posisi rerata mobil dicatat pada dua waktu yang berbeda, maka :

Dengan cara yang sama, laju reaksi rerata diperoleh dengan membagi perubahan konsentrasi reaktan atau produk dengan interval waktu terjadinya reaksi :

Jika konsentrasi diukur dalam mol L-1 dan waktu dalam detik, maka laju reaksi mempunyai satuan mol L-1s-1. Kita ambil contoh khusus. Dalam reaksi fasa gas

NO2 dan CO dikonsumsi pada saat pembentukan NO dan CO2. Jika sebuah kuar dapat mengukur konsentrasi NO, laju reaksi rerata dapat diperkirakan dari nisbah perubahan konsentrasi NO,  ∆[NO] terhadap interval waktu, ∆t:

Jadi laju reaksi adalah besarnya perubahan konsentrasi reaktan atau produk dalam satu satuan waktu.  Perubahan laju konsentrasi setiap unsur dibagi dengan koefisiennya dalam persamaan yang seimbang/stoikiometri. Laju perubahan reaktan muncul dengan tanda negatif dan laju perubahan produk dengan tanda positif.

Untuk reaksi yang umum:

aA + bB → cC + dD

Lajunya ialah

Hubungan ini benar selama tidak ada unsur antara atau jika konsentrasinya bergantung pada waktu di sepanjang waktu reaksi.

Menentukan Laju Reaksi :

Perhatikan penguraian nitrogen dioksida, NO2 menjadi nitrogen oksida, NO dan oksigen, O2 :  2NO2 → 2NO + O2

a.  Tulislah pernyataan untuk laju rata-rata berkurangnya konsentrasi NO2 dan laju rata-rata bertambahnya konsentrasi NO dan O2.

b.  Jika laju rata-rata berkurangnya konsentrasi NO2 ditetapkan dan dijumpai sebesar 4×10-13mol L-1s-1, berapakah laju rata-rata padanannya (dari) bertambahnya konsentrasi NO dan O2

Jawaban :

a.  Laju rata-rata berkurangnya konsentrasi NO2 dinyatakan sebagai :

Laju rata-rata bertambahnya konsentrasi NO dan O2 dinyatakan sebagai:

b.  Untuk tiap dua molekul NO2 yang bereaksi terbentuk dua molekul NO. Jadi berkurangnya konsentrasi NO2 dan bertambahnya konsentrasi NO berlangsung dengan laju yang sama

Hukum Laju

Dalam membahas reaksi kesetimbangan kimia telah ditekankan bahwa reaksi ke kanan maupun ke kiri dapat terjadi begitu produk terbentuk, produk ini dapat bereaksi kembali menghasilkan reaktan semula.

Laju bersih ialah:

Laju bersih = laju ke kanan – laju ke kiri

Dapat dikatakan, pengukuran konsentrasi memberikan laju bersih, bukannya sekedar laju ke kanan. Bagaimanapun, sesaat sebelum reaksi yang dimulai dari reaktan murni, konsentrasi reaktan jauh lebih tinggi dibandingkan produknya sehingga laju ke kiri dapat diabaikan. Selain itu, banyak reaksi berlangsung sempurna (K>>1) sehingga laju yang terukur hanyalah reaksi ke kanan atau eksperimen dapat diatur agar produknya dapat dialihkan jika terbentuk. Dalam subbab ini, persamaan diberikan pada laju ke kanan saja.

Faktor-faktor yang mempengaruhi kecepatan reaksi

Kata Kunci: energi aktivasi, heterogen, katalis

Ditulis oleh Suparni Setyowati Rahayu pada 10-09-2009

1. Kecepatan Reaksi dipengaruhi oleh ukuran partikel/zat.
   Semakin luas permukaan maka semakin banyak tempat bersentuhan untuk berlangsungnya reaksi. Luas permukaan zat dapat dicapai dengan cara memperkecil ukuran zat tersebut
2. Kecepatan Reaksi dipengaruhi oleh suhu.
   Semakin tinggi suhu reaksi, kecepatan reaksi juga akan makin meningkat sesuai dengan teori Arhenius.
3. Kecepatan Reaksi dipengaruhi oleh katalis.
   Adanya katalisator dalam reaksi dapat mempercepat jalannya suatu reaksi. Kereakifan dari katalis bergantung dari jenis dan konsentrasi yang digunakan.

Katalis

Katalis adalah suatu zat yang mempercepat suatu laju reaksi, namun ia sendiri, secara kimiawi, tidak berubah pada akhir reaksi. Ketika reaksi selesai, maka akan didapatkan kembali massa katalasis yang sama seperti pada awal ditambahkan.

Katalis dapat dibagi berdasarkan dua tipe dasar, yaitu reaksi heterogen dan reaksi homogen. Didalam reaksi heterogen, katalis berada dalam fase yang berbeda dengan reaktan. Sedangkan pada dalam reaksi homogen, katalis berada dalam fase yang sama dengan reaktan.

Jika kita melihat suatu campuran dan dapat melihat suatu batas antara dua komponen, dua komponen itu berada dalam fase yang berbeda. Campuran antara padat dan cair terdiri dari dua fase. Campuran antara beberapa senyawa kimia dalam satu larutan terdiri hanya dari satu fase, karena kita tidak dapat melihat batas antara senyawa-senyawa kimia tersebut.

Fase berbeda denga istilah keadaan fisik (padat, cair dan gas). Fase dapat juga meliputi padat, cair dan gas, akan tetapi lebih sedikit luas. Fase juga dapat diterapkan dalam dua zat cair dimana keduanya tidak saling melarutkan (contoh, minyak dan air).

Energi Aktivasi

Tumbukan-tumbukan akan menghasilkan reaksi jika partikel-partikel bertumbukan dengan energi yang cukup untuk memulai suatu reaksi. Energi minimum yang diperlukan disebut dengan reaksi aktivasi energi. Kita dapat menggambarkan keadaan dari energi aktivasi pada distribusi Maxwell-Boltzmann seperti ini:

SUMBER